DTS 10-09/09/2552

สรุป
กราฟ (Graph) เป็นโครงสร้างข้อมูลไม่เป็นเชิงเส้น (Nonlinear Data Structure) มีความแตกต่างจากโครงสร้างข้อมูลทรีในบทที่ผ่านมา แต่เป็นลักษณะพิเศษแบบหนี่งของกราฟโดยทรีเป็นกราฟอะไซคลิกที่ไม่มีการวนลูปและการวนถอยกลับ เป็นกราฟเชื่อมกันที่มีเพียงเอจเดียวระหว่างสองโหนด กราฟมีลักษณะเป็นเซ็ตของจุด (Point) และเซ็ตของเส้น (Line) ซึ่งแต่ละเส้นทำหน้าที่เชื่อมต่อจุดเข้าด้วยกัน แต่ละจุดเรียกว่าโหนด (Node) ของกราฟและเส้นเรียกว่าเอจ (Edge) บางครั้งเอจจะเรียกว่าอาร์ค (Arc) และโหนดเรียกว่าเวอร์ทิค (Vertice) โดยกำหนดให้กราฟ G มีเซ็ตของโหนดเป็น VG และเซ็ตของเอจเป็น EG

การสร้างกราฟใช้งาน โดยปกติภาษาเขียนโปรแกรมมีการสร้างโครงสร้างข้อมูลให้ใช้งานได้ทันที (Build-in Type) แต่ไม่มีกราฟรวมอยู่ด้วย ดังนั้น ผู้เขียนโปรแกรมที่ต้องการสร้างกราฟขึ้นมาใช้งานจะมีการนำโครงสร้างข้อมูลอื่นมาใช้เป็นกราฟ โดยมีอยู่ 3 แนวทางที่นำมาใช้ คือ
ใช้แมตทริกติดกัน (Adjacency Matrix) หรืออาร์เรย์สองมิติกำหนดเป็นกราฟ
ใช้ลิสต์แบบไดเร็กทอรี่โหนด (Node Directory) กำหนดเป็นกราฟ
ใช้มัลติลิสต์ (Multi-List) กำหนดเป็นกราฟ
กราฟแบบแมตทริกติดกัน
หมายความว่า หากมีเอจที่เชื่อมต่อกันระหว่างโหนด i กับ j ก็จะได้ A(i,j) = 1 ไม่เช่นนั้นมีค่าเป็น 0
กราฟแบบไดเร็กทอรี่โหนด
เทคนิคการใช้แมตทริกติดกันเป็นกราฟมีความต้องการเก็บข้อมูลเกี่ยวกับเอจครบทุกรูปแบบระหว่างโหนดที่เป็นไปได้ เมื่อกราฟมี N โหนดความเป็นไปได้จะมีเอจเชื่อมกันเท่ากับ N2 ซึ่งทำให้มีค่า 0 เป็นจำนวนมาก ดังนั้น การนำลิ้งค์ลิสต์มาใช้เป็นกราฟจึงมีความเหมาะสมกว่า ซึ่งจะมีเฉพาะเอจที่เชื่อมต่อกันเท่านั้น การใช้โครงสร้างลิ้งค์ลิสต์เป็นกราฟจะมี 2 รูปแบบ คือ แบบไดเร็กทอรี่โหนด (Node Directory) และแบบมัลติลิสต์ (Multi-List) ในหัวข้อถัดไป
กราฟแบบไดเร็กทอรี่โหนดประกอบด้วยสองส่วน คือ ไดเร็กทอรี่ (Directory) และเซ็ตของลิ้งค์ลิสต์ แต่ละค่าในไดเร็กทอรี่มีสำหรับแต่ละโหนดที่อยู่ในกราฟ ค่าในไดเร็กทอรี่สำหรับโหนด i จะชี้ไปยังลิ้งค์ลิสต์ที่เชื่อมต่อไปยังโหนดที่เชื่อมต่อกับโหนด i ลิ้งค์ลิสต์เป็นเรคคอร์ดประกอบด้วยสองเขตข้อมูล คือ ค่าความแตกต่างของแต่ละโหนด (Node Identifier) เป็นหมายเลขโหนดและตัวเชื่อมชี้ไปยังสมาชิกถัดไปในลิสต์ ดังนั้น ไดเร็กทอรี่จะหมายถึงโหนดส่วนลิ้งค์ลิสต์หมายถึงเอจ
กราฟแบบมัลติลิสต์
ในโครงสร้างกราฟแบบมัลติลิสต์ประกอบด้วยสองส่วนคือ ไดเร็กทอรี่ของโหนดและเซ็ตลิ้งค์ลิสต์ของเอจ แต่ละค่าในไดเร็กทอรี่คือแต่ละโหนดที่อยู่ในกราฟ ดังนั้น ค่าในไดเร็กทอรี่สำหรับโหนด i จะชี้ไปยังลิ้งค์ลิสต์ที่เชื่อมต่อไปยังโหนดที่เชื่อมติดกับโหนด i ลิ้งค์ลิสต์เป็นเรคคอร์ดประกอบด้วยสองลิสต์ติดกันใช้เป็นโหนดกัวและโหนดท้ายของเอจ ดังในรูปที่ 10.15 เป็นโครงสร้างของแต่ละเอจที่มี Edge(Vi,Vj)
การวิ่งตามเส้นทางในกราฟ
แอปพลิเคชั่นที่เขียนขึ้นมาเมื่อใช้งานกราฟส่วนใหญ่ต้องเข้าไปเรียกใช้งานในแต่ละโหนด เช่น การพิมพ์รายการกิจกรรมในระบบการบริหารจัดการโครงการ การแสดงผลระยะทางระหว่างเมือง เทคนิคพื้นฐานการวิ่งตามเส้นทางในกราฟ (Graph Traversal) ที่จะกล่าวถึง คือ การวิ่งตามแนวกว้างก่อน (Breadth – first) และการวิ่งตามแนวลึกก่อน (Depth – first) การวิ่งตามเส้นทางมีสิ่งที่ต้องระวัง คือ การวิ่งไปถึงแต่ละโหนดควรมีเพียงครั้งเดียว การวิ่งซ้ำโหนดเดิมทำให้การทำงานและผลที่ได้เกิดขึ้นซ้ำจากการวิ่งย้อนตามเส้นทางที่เคยผ่านมาแล้ว และมีหลายเส้นทางที่เชื่อมต่อระหว่างสองโหนด การเขียนอัลกอริทึมการวิ่งตามเส้นทางในกราฟจะใช้เครื่องหมายหรือตัวมาร์ก (Mark) บอกให้ทราบว่ามีการวิ่งมายังโหนดนี้แล้ว โดยก่อนหน้านี้จะถูกมาร์กว่ายังไม่วิ่งมา หรือเปลี่ยนมาใช้ตัวมาร์กกับเอจแทน ดังนั้น เอจที่ผ่านไปแล้วจะไม่ถูกรวมกับเอจอื่น ๆ ที่เหลือ เครื่องหมายหรือตัวมาร์กจะใช้เป็นมาร์กบิต (Mark Bit) เก็บไว้ในแต่ละโหนดหรือเอจ
การวิ่งตามแนวกว้างก่อน
การวิ่งตามเส้นทางในกราฟตามแนวกว้างก่อน (Breath – first Traversal) หรือการค้นหาตามแนวกว้างก่อน (Breath – first Traversal) เริ่มด้วยการเลือกมาหนึ่งโหนดเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและทำเครื่องหมายว่าวิ่งผ่านมาแล้ว จากนั้นวิ่งไปยังโหนดทุกโหนดที่ติดกับโหนดนี้และยังไม่วิ่งผ่านและทำเครื่องหมาย ทำเช่นนี้จะกระทั่งวิ่งผ่านทุก ๆ โหนดที่มีอยู่ในกราฟ การวิ่งตามแนวกว้างในกราฟจากรูปที่ 10.13 ผลจากการวิ่งไปยังแต่ละโหนดจะมีลำดับเป็น 1,2,3,4,5,6,7,8 หรือมีลำดับเป็น 1,3,2,6,5,4,7,8 ก็ได้ ขึ้นอยู่กับการเลือกโหนดที่จะวิ่งผ่านทางด้านซ้ายหรือขวาก่อน อัลกอริทึมการวิ่งตามเส้นทางในแนวกว้างก่อนจะใช้โครงสร้างข้อมูลคิวเพื่อเก็บโหนดที่วิ่งผ่านไปแล้วในแต่ละระดับของกราฟ แต่ละโหนดที่เก็บในคิวจะใช้สำหรับวิ่งไปยังโหนดติดกันที่ยังไม่ได้วิ่งไป ทำจนวิ่งผ่านทุกโหนดในกราฟและสิ้นสุดลงเมื่อคิวว่าง อัลกอริทึมการวิ่งตามเส้นทางในแนวกว้างก่อนดังในตารางที่ 10.1

Sorting
การเรียงลำดับ (sorting) เป็นการจัดให้เป็นระเบียบมีแบบแผน ช่วยให้การค้นหาสิ่งของหรือข้อมูล ซึ่งจะสามารถกระทำได้รวดเร็วและมีประสิทธิภาพ เช่น การค้นหาคำตามตัวอักษรไว้อย่างมีระบบและเป็นระเบียบ หรือ การค้นหาหมายเลขโทรศัพท์ในสมุดโทรศัพท์ ซึ่งมีการเรียงลำดับ ตามชื่อและชื่อสกุลของเจ้าของโทรศัพท์ไว้ ทำให้สามารถค้นหา หมายเลขโทรศัพท์ของคนที่ต้องการได้อย่างรวดเร็ว
วิธีการเรียงลำดับสามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ
(1)การเรียงลำดับแบบภายใน (internal sorting)เป็นการเรียงลำดับที่ข้อมูลทั้งหมดต้องอยู่ในหน่วยความจำหลัก เวลาที่ใช้ในการเรียงลำดับจะคำนึงถึงเวลาที่ใช้ในการเปรียบเทียบและเลื่อนข้อมูลภายในความจำหลัก
(2) การเรียงลำดับแบบภายนอก(external sorting) เป็นการเรียงลำดับข้อมูลที่เก็บอยู่ในหน่วยความจำสำรอง ซึ่งเป็นการเรียงลำดับข้อมูลในแฟ้มข้อมูล (file) เวลาที่ใช้ในการเรียงลำดับต้องคำนึงถึงเวลาที่เสียไประหว่างการถ่ายเทข้อมูลจากหน่วยความจำหลักและหน่วยความจำสำรองนอกเหนือจากเวลาที่ใช้ในการเรียงลำดับข้อมูลแบบภายในการเรียงลำดับแบบเลือก (selection sort)ทำการเลือกข้อมูลมาเก็บในตำแหน่งที่ ข้อมูลนั้นควรจะอยู่ทีละตัว โดยทำการค้นหาข้อมูลนั้นในแต่ละรอบแบบเรียงลำดับ
การเรียงลำดับแบบเลือกเป็นวิธีที่ง่าย แต่เสียเวลาในการจัดเรียงนาน โดยจะทำการเลือกข้อมูลมาเก็บไว้ตามตำแหน่งที่กำหนด คือ กำหนดให้เรียงข้อมูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก ก็จะทำการเลือกข้อมูลตัวที่มีค่าน้อยที่สุดมาอยู่ที่ตำแหน่งแรกสุด และค่าที่อยู่ตำแหน่งแรกก็จะมาอยู่แทนที่ค่าน้อยสุด แล้วทำการเลือกไปเรื่อยๆ จนครบทุกค่า ค่าที่ได้ก็จะเรียงจากน้อยไปหามาก
การเรียงลำดับแบบฟอง (Bubble Sort)
เป็นวิธีการเรียงลำดับที่มีการเปรียบเทียบข้อมูลในตำแหน่งที่อยู่ติดกัน1. ถ้าข้อมูลทั้งสองไม่อยู่ในลำดับที่ถูกต้องให้สลับตำแหน่งที่อยู่กัน2. ถ้าเป็นการเรียงลำดับจากน้อยไปมากให้นำข้อมูลตัวที่มีค่าน้อยกว่าอยู่ในตำแหน่งก่อนข้อมูลที่มีค่ามาก ถ้าเป็นการเรียงลำดับจากมากไปน้อยให้นำข้อมูล ตัวที่มีค่ามากกว่าอยู่ในตำแหน่งก่อนข้อมูลที่มีค่าน้อย
การเรียงลำดับแบบแทรก (insertion sort)
เป็นวิธีการเรียงลำดับที่ทำการเพิ่มสมาชิกใหม่เข้าไปในเซต ที่มีสมาชิกทุกตัวเรียงลำดับอยู่แล้ว และทำให้เซตใหม่ที่ได้นี้มีสมาชิกทุกตัวเรียงลำดับด้วย
วิธีการเรียงลำดับ
1. เริ่มต้นเปรียบเทียบจากข้อมูลในตำแหน่งที่ 1 กับ 2หรือข้อมูลในตำแหน่งสุดท้ายและรองสุดท้ายก็ได้ถ้าเป็นการเรียงลำดับจากน้อย ไปมาก
2. จะต้องจัดให้ข้อมูลที่มีค่าน้อยอยู่ในตำแหน่งก่อนข้อมูลที่มีค่ามาก และถ้าเรียงจากมากไปน้อยก็จะจัดให้ข้อมูลที่มีค่ามากอยู่ในตำแหน่งก่อน
การเรียงลำดับแบบฐานเป็นวิธีที่พิจารณาเลขที่ละหลัก โดยจะพิจารณาเลขหลักหน่วยก่อน แล้วทำการจัดเรียงข้อมูลทีละตัวตามกลุ่มหมายเลข จากนั้นนำข้อมูลที่จัดเรียงในหลักหน่วยมาจัดเรียงในหลักสิยต่อไปเรื่อยๆจนครบทุกหลัก ก็จะได้ข้อมูลที่ต้องการ การเรียงลำดับแบบฐานไม่ซับซ้อน แต่ใช้เนื้อที่ในหน่วยความจำมาก

DTS 09-02/09/2552

สรุป
ไบนารีทรี
นิยามว่า ไบนารีทรี เป็น ทรีว่าง หรือทรีที่ประกอบด้วยโหนดรากที่เรียกว่า ราก กับ ไบนารีทรี 2 ทรี เรียกว่า ทรีย่อยทางซ้าย (left subtree) และ ทรีย่อยทางขวา (right subtree) ของราก การสร้างไบนารีทรี ที่มี
โหนดเดียว สามารถสร้างโหนดนั้นเป็นโหนดรากที่มีทรีย่อยทางซ้าย และทรีทางขวาเป็นทรีว่าง จะเห็นว่า
ไบนารีทรีแตก ต่างจากทรีทั่วไป เนื่องจากในไบนารีทรี ความหมายของคำว่า ซ้าย หรือ ขวา มีความสำคัญ ไบนารีทรี 2 โหนด ดังนั้นไบนารีทรีสามรถได้มาจากทรีแบบลำดับที่เหมาะสมกัน โดยการแยกกิ่งทางซ้ายออกจากกิ่งทางขวา
การเปลี่ยนทรีทั่วไปเป็นไบนารีทรี
ไบนารีทรีเป็นโครงสร้างข้อมูลที่มีประสิทธิภาพ แต่มีข้อจำกัดว่า แต่ละโหนดมีลูกได้ไม่เกิน 2 และในการประยุกต์ ใช้งานส่วนใหญ่ โครงสร้างข้อมูลเป็นจำนวนใดๆ ได้ตามใจ การเปลี่ยนทรีทั่วไปเป็นไบนารีทรี
เริ่มต้นจะเชื่อมโหนด แต่ละโหนดกับโหนดลูกซ้ายสุดของโหนดนั้น ซึ่งเรียกว่าโหนดแรก ต่อมาเชื่อมแต่ละโหนดยกเว้นโหนดรากกับโหนดถัดไป ที่มีพ่อเดียวกัน(พี่น้อง) ซึ่งเรียกว่าเชื่อมโหนดลูกถัดไป
เพื่อให้โครงสร้างของไบนารีทรีที่ดีกว่านี้ จะต้องหมุนทรีเล็กน้อยตามเข็มนาฬิกา ซึ่งจะทำให้เส้นเชื่อมที่ชี้
ลงล่าง ชี้ลงไปทางซ้าย และเส้นเชื่อมที่ชี้ตามแนวนอน ชี้ลงไปข้างล่างทางขวา
ป่าและสวน
ป่า (forest) หมายถึงของทรีที่เป็นทรีแบบรก และ สวน (orchard) หมายถึง ชุดของทรีแบบลำดับ แต่โดยทั่วไป แล้วป่ากับสวนมีความหมายเดียวกัน คือ ชุดของทรีทั่วไป
สามารถสร้างป่าหรือสวนได้ โดยการขจัดรากออกไปจากทรีแบบราก หรือแบบลำดับและทำนองเดียวกัน สามารถแปลง จากป่าแสวนไปเป็นไบนารีทรีได้มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
1.ขจัดเส้นเชื่อมเดิมออก
2.แปลงทรีแต่ละต้นให้เป็นไบนารีทรี
3.เชื่อมโหนดรากของทรีเขาด้วยกัน ในแนวนอนโดยใช้ความสัมพันธ์พี่น้อง
4.หมุนทรีที่ได้ 45 องศาตามเข็มนาฬิกา ซึ่งจะทำให้เส้นเชื่อมในแนวตั้งกลายเป็นเส้นเชื่อมทางซ้าย และเส้นเชื่อมในแนวนอนกลายเป็นเส้นเชื่อมทางขวา

การท่องไบนารีทรี (traversal of binary tree)
เป็นการเคลื่อนที่ไปยังโหนดทุกโหนดของไบนารีของทรี หรือการเยี่ยมโหนดทุกโหนดของทรี ในข้อมูล
แบบทรีโหนด ทุกโหนดที่จะท่องมีลำดับแตกต่างกัน ที่โหนดใด ไๆที่กำหนดให้จะต้องมีการกระทำ 3 อย่าง ในลำดับใดๆ คือ
1. เยี่ยมโหนดนั้น
2. ท่องไปยังทรีย่อยทางซ้ายของโหนดนั้น
3. ท่องไปยังทรีย่อยทางขวาของโหนดนั้น
จุดสำคัญของของการท่องไบนารีทรีคือ จะเยี่ยมททรีย่อยก่อนการท่องทรีย่อยที่มีอยู่ หรือจะเยี่ยมโหนดนั้นในระหว่างการท่องทรีย่อยของโหนดนั้น หรือจะเยี่ยมดหนดนั้นในระหว่างการท่องทรีย่อยภายหลังจากการท่องทรีย่อย ทั้งสองของโหนดนั้นเสร็จเรียบร้อยแล้ว
ถ้าเรากำหนดให้การเยี่ยมโหนด เป็นงาน V การท่องทรีย่อยทางซ้ายเป็น L การท่องทรีย่อยทางขวาเป็น R จึงจะ ได้วิธีการท่องทรีทั้งหมด 6 วิธี
VLR
LVR
LRV
VRL
RVL
RLV
การท่องทรีทั้ง 6 วิธีดังกล่าวเราจะลดเหลือ 3 วิธี ที่มีการท่องทรีย่อยทางซ้ายก่อนการท่องทรีย่อยทางขวา ส่วนอีก 3 วิธีที่เหลือ ก็เหมือนกับเป็นภาพกระจกเงาของ 3 วิธี ดังกล่าววิธีการท่องทรีย่อยทางซ้ายก่อนทรีย่อยทางขวา 3 วิธีดังกล่าว เรามีชื่อเรียกเฉพาะดังนี้
แบบ VLR เรียกว่า พรีออร์เดอร์ (preoder)
แบบ LVR เรียกว่า อินออร์เดอร์ (inorder)
แบบ LRV เรียกว่า โพสต์ออร์เดอร์(postorder)
การเรียกชื่อ 3 วิธีดังกล่าว จะเรียกตามลำดับการเยี่ยมโหนด V นั่นคือการท่องแบบพรีออร์เดอร์จะเยี่ยม
โหนด V ก่อนการเยี่ยมทรีย่อยทาง ซ้ายและทางขวา การท่องแบบอินออร์เดอร์จะเยี่ยมโหนด V ในระหว่างการท่องทรีย่อยทางซ้าย และทรีย่อยทางขวา และการท่องแบบโพสต์ออร์เดอร์ โหนด V จะถูกเยี่ยมหลังจากท่องทรีย่อยทางซ้ายและทางขวา มาแล้ว
การท่องแบบพรีออร์เดอร์ โหนดรากจะต้องถูกเยี่ยมเป็นอันดับแรก จากนั้นจะเคลื่อนไปท่องยังทรีย่อยทางซ้าย และจากนั้นก็จะเคลื่อนไปเยี่ยมทรีย่อยทางขวาของโหนดราก
การท่องแบบอินออร์เดอร์ ก่อนที่จะมีการเยี่ยมโหนดราก จะท่องทรีย่อยทางซ้ายของโหนดรากก่อน จากนั้นจะเคลื่อน ไปเยี่ยมโหนดราก และสุดท้ายก็จะเยี่ยมโหนดทางขวาของโหนดราก
การท่องแบบโพสต์ออร์เดอร์ จะท่องทรีย่อยทางซ้ายและทางขวาก่อนที่จะเยี่ยมโหนดราก
การประยุกต์ใช้ ไบนารีทรีกับนิพจน์ ก็สามารถจะกระทำได้ ถ้าประยุกต์ใช้แบบอินออร์เดอร์ จะได้ นิพจน์อินฟิกส์ ถ้าประยุกต์ใช้แบบโพสออร์เดอร์ จะได้นิพจน์โพสต์ฟิกส์ถ้าประยุกต์ใช้แบบพรีออร์เดอร์ จะได้นิพจน์
พรีฟิกส์
ไบนารีแบบเทรด
การท่องไบนารีแบบทรีดังข้างต้น จะมีขั้นตอนการทำงานแบบเรียกซ้ำ จึงต้องมีการใช้สแตกมาช่วย คือในขณะที่ ทำการท่องไบนารีทรี จะเก็บตำแหน่งต่าง ๆ ที่มีการเคลื่อนที่ผ่านไปไว้ในสแตก และเมื่อต้องการย้อนกลับไปทางเดิมก็จะทำ การพ็อพสแตกเพื่อนำตำแหน่งต่าง ๆออกมา
วิธีการที่ประสิทธิภาพในการท่องไบนารี โดยการให้ลิงค์ทางขวาของแต่ละโหนดที่เป็น NULL เก็บลิงค์พิเศษ ที่ชี้ไปยังโหนดที่มาตามหลังโหนดนั้นๆ ในการท่องไบนารีทรี และเรียกลิงค์พิเศษนี้ว่า "เทรดทางขวา"(right tread) การใช้เทรดทำให้การท่องทำได้ง่ายขึ้น เพราะเพียงแต่เดินตามลิงค์ธรามดา หรือเดินตามเทรดเพื่อหาโหนดถัดไป และต่อมาเมื่อสร้างเทรดทางซ้าย (left tread) ด้วยโดย ให้โหนดที่เป็นลิงค์ทางซ้ายเป็น NULL เก็บลิงค์พิเศษที่ชี้ไปยังโหนดที่มาก่อน ซึ่งจะทำให้ได้ไบนารีเทรดแบบสมบูรณ์(Fully threaded binary tree) และในทำนองเดียวกันก็สมารถสร้างเทรดแบบพรีออร์เดอร์ และโพสต์ออร์เดอร์ ได้ โดยการให้ลิงค์ทางซ้ายแทนค่าNULL ชี้ไปยังโหนดที่มาก่อนแบบพรีออร์เดอร์หรือโพสต์ออร์เดอร์และลิงค์ทางขวามีค่าเป็น NULL ชี้ไปยังโหนดที่มาทีหลัง แบบพรีออร์เดอร์ หรือ โพสต์ออร์เดอร์ ในการเขียนโปรแกรม ต้องมีวิธีการบางอย่างที่จะบอกว่าลิงค์แต่ละตัวเป็นลิงค์ที่ชี้ไปยังทรีย่อยปกติหรือเป็นเทรดที่ชี้
เอ็กซ์เพรสชันทรี (Expression Tree)
เป็นการนำเอาโครง สร้างทรีไปใช้เก็บนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยเป็นไบนารีทรี ซึ่งแต่ละโหนดเก็บตัวดำเนินการ (Operator) และและตัวถูกดำเนินการ(Operand) ของนิพจน์คณิตศาสตร์นั้น ๆ ไว้ หรืออาจจะเก็บค่านิพจน์ทางตรรกะ (Logical Expression)นิพจน์เหล่านี้เมื่อแทนในทรีต้องคำนึงลำดับขั้นตอนในการคำนวณตาม ความสำคัญของเครื่องหมายด้วยโดยมีความสำคัญตามลำดับดังนี้
- ฟังก์ชัน
- วงเล็บ ( )
- ยกกำลัง
- เครื่องหมายหน้าเลขจำนวน
- คูณ หรือ หาร * /
- บวก หรือ ลบ + -
- ถ้ามีเครื่องหมายที่ระดับเดียวกันให้ทำจากซ้ายไปขวา
การ แทนนิพจน์ในเอ็กซ์เพรสชันทรี ตัวถูกดำเนินการจะเก็บอยู่ที่โหนดใบส่วนตัวดำเนินการจะเก็บในโหนดกิ่งหรือ โหนดที่ไม่ใช่โหนดใบ